Введение в геометрию
24 октября 2022 г.Эссе Бертрана Рассела об основах геометрии входит в серию книжных публикаций HackerNoon. Таблицу ссылок для этой книги можно найти здесь. Основы геометрии: введение
ПРЕДИСЛОВИЕ.
Настоящая работа основана на диссертации, представленной на стипендиальном экзамене Тринити-колледжа в Кембридже в 1895 году. Раздел B третьей главы в основном представляет собой перепечатку с некоторыми серьезными изменениями статьи из журнала Mind. (Новая серия, № 17). Содержание книги изложено в виде лекций в Университете Джона Хопкинса в Балтиморе и в колледже Брин-Мор в Пенсильвании.
Мое главное обязательство перед профессором Кляйном. На протяжении всей первой главы я находил его «Лекции по неевклидовой геометрии» бесценным руководством; Я принял от него разделение метагеометрии на три периода и нашел, что моя историческая работа значительно облегчилась благодаря его ссылкам на предшествующих авторов. В логике я многому научился у мистера Брэдли, а затем у Зигварта и доктора Бозанке. По ряду важных моментов я почерпнул полезные советы из «Принципов психологии» профессора Джеймса.
Я благодарю г-на Г. Ф. Стаута и г-на А. Н. Уайтхеда за то, что они любезно прочитали мои корректуры и помогли мне многими полезными критическими замечаниями. Мистеру Уайтхеду я также обязан неоценимой помощью постоянной критики и предложений на протяжении всего хода строительства, особенно в том, что касается философской важности проективной геометрии.
Хаслемер.
Май 1897 г.
ВВЕДЕНИЕ.
НАША ПРОБЛЕМА ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ СВОИМ ОТНОШЕНИЕМ К ЛОГИКЕ, ПСИХОЛОГИИ И МАТЕМАТИКЕ.
- Геометрия на протяжении XVII и XVIII веков оставалась в войне с эмпиризмом неприступной крепостью идеалистов. Те, кто полагал — как это обычно считалось на континенте — что определенные знания, независимые от опыта, возможны о реальном мире, должны были только указать на геометрию: они говорили, что никто, кроме сумасшедшего, не станет подвергать сомнению ее достоверность, и никто, кроме дурака, не стал бы отрицать его объективную ссылку. Таким образом, перед английскими эмпириками в этом вопросе стояла несколько трудная задача; либо они должны были игнорировать проблему, либо, если они, подобно Юму и Миллю, отваживались на атаку, они были вынуждены прийти к кажущемуся парадоксальным утверждению, что геометрия, в сущности, не имеет никакой достоверности, отличной от достоверности механики, — только постоянное присутствие пространственных впечатлений, говорили они, делает наш опыт истинности аксиом настолько широким, что кажется абсолютной уверенностью.
Однако здесь, как и во многих других случаях, безжалостная логика привела этих философов, хотели они того или нет, к вопиющему противоречию со здравым смыслом своего времени. Только благодаря Канту, создателю современной эпистемологии, геометрическая проблема получила современную форму. Он свел вопрос к следующим гипотетикам: если геометрия обладает аподиктической достоверностью, то ее материя, т. е. пространство, должна быть априорной и как таковая должна быть чисто субъективной; и наоборот, если пространство чисто субъективно, геометрия должна иметь аподиктическую достоверность. Последняя гипотеза имеет для Канта больший вес, она неразрывно связана со всей его эпистемологией; тем не менее он имеет, я думаю, гораздо меньшую силу, чем первый. Примем, однако, на данный момент кантианскую формулировку и постараемся уточнить термины априорный и субъективный.
2. Одной из больших трудностей в ходе этого спора является чрезвычайно различное употребление этих слов, а также слова «эмпирический» разными авторами. Для Канта, который не был психологом, априорное и субъективное были почти взаимозаменяемыми терминами[1]; в современном употреблении в целом наблюдается тенденция ограничивать слово «субъективный» термином «психология», оставляя априори выполнять обязанности эпистемологии. Если мы примем это разграничение, то сможем установить, в соответствии с проблемами этих двух наук, следующие предварительные определения: априорное относится ко всякому знанию, которое, возможно, выведено из опыта, но логически предполагается в опыте; субъективное относится к любое психическое состояние, непосредственная причина которого лежит не во внешнем мире, а в пределах субъекта.
Последнее определение, конечно, оформлено исключительно для психологии: с точки зрения физической науки все психические состояния субъективны. Но для Науки, предметом которой, строго говоря, являются только психические состояния, нам требуется, если мы собираемся употреблять это слово с какой-либо целью, некоторое различие между психическими состояниями как признак более особой субъективности со стороны тех, к которым мы относимся. применяется этот термин.
Теперь единственными психическими состояниями, непосредственные причины которых лежат во внешнем мире, являются ощущения. Чистое ощущение есть, конечно, невозможная абстракция — мы никогда не бываем полностью пассивны под действием внешнего раздражителя, — но для целей психологии абстракция полезна. Итак, все, что не является ощущением, мы в психологии будем называть субъективным. Только в ощущении на нас непосредственно влияет внешний мир, и только здесь он дает нам непосредственную информацию о себе.
3. Рассмотрим теперь эпистемологический вопрос о том виде знания, которое можно назвать априорным. Здесь мы не имеем ничего общего — во всяком случае, в первую очередь — с причиной или генезисом знания; мы принимаем знание как данное, подлежащее анализу и классификации. Такой анализ выявит формальный и материальный элементы в [3] знании. Формальный элемент будет состоять из постулатов, необходимых для того, чтобы знание вообще стало возможным, и всего того, что можно вывести из этих постулатов; материальный элемент, с другой стороны, будет состоять из всего, что заполняет форму, заданную формальными постулатами, — все, что случайно или зависит от опыта, все, что могло бы быть иначе, не делая познание невозможным. Тогда мы будем называть формальный элемент априорным, а материальный — эмпирическим.
4. Какова же связь между субъективным и априорным? Это связь, очевидно — если она вообще существует — извне, т. е. не выводимая непосредственно из природы ни того, ни другого, но доказуемая — если она может быть доказана — только посредством общего взгляда на условия того и другого. Вопрос о том, что такое априорное знание, должен, согласно приведенному выше определению, зависеть от логического анализа знания, посредством которого могут быть выявлены условия возможного опыта; но вопрос о том, какие элементы познавательного состояния являются субъективными, должен исследовать чистая психология, которая должна определить, что в наших восприятиях принадлежит к ощущению, а что является работой мысли или ассоциации. Так как эти два вопроса относятся к разным наукам и могут быть решены независимо друг от друга, то не будет ли разумно провести оба исследования отдельно? Декретировать, что априорное всегда должно быть субъективным, кажется опасным, если учесть, что такой взгляд отдает наши результаты в отношении априорного на милость эмпирической психологии. Насколько серьезна эта опасность, достаточно показывает спор о чистой интуиции Канта.
5. Таким образом, на протяжении всего настоящего очерка я буду использовать слово априори без какого-либо психологического значения. Моя проверка априорности будет чисто логической: был бы опыт невозможен, если бы отрицалась определенная аксиома или постулат? Или, в более узком смысле, который дает априорность только внутри конкретной науки: был бы невозможен опыт в отношении предмета этой науки без определенной аксиомы или постулата? Следовательно, мои результаты также будут чисто логическими.
Если психология заявляет, что некоторые вещи, которые я объявил априорно, не являются субъективными, то, если в моих доказательствах не будет ошибки в деталях, связь априорного и субъективного[4] в отношении этих вещей нужно отказаться. Соответственно, в этом очерке не будет обсуждаться отношение априорного к субъективному — отношение, которое не может определить, какие части знания являются априорными, но скорее зависит от этого определения и в любом случае принадлежит скорее к метафизике, чем к эпистемологии.
6. Поскольку я осмелился использовать слово априори в несколько нетрадиционном смысле, я дам несколько поясняющих замечаний общего характера. Априори, по крайней мере со времен Канта, обычно обозначало необходимый или аподиктический элемент в познании. Но современная логика показала, что необходимые предложения всегда, по крайней мере в одном аспекте, гипотетичны. Может иметь место и обычно подразумевается, что связь, о которой говорится о необходимости, имеет некоторое существование, но тем не менее необходимость всегда указывает вне себя на основание необходимости и утверждает это основание, а не действительную связь. Как отмечает Брэдли, «мышьяковый яд» остается верным, даже если он никого не отравляет. Следовательно, если априорное в познании является прежде всего необходимым, то оно должно быть необходимым при некотором предположении, и основание необходимости должно быть включено в качестве априорного. Но основание необходимости, насколько может показать рассматриваемая необходимая связь, есть простой факт, просто категорическое суждение. Следовательно, сама по себе необходимость является недостаточным критерием априорности.
Чтобы дополнить этот критерий, мы должны указать гипотезу или основание, на котором единственно держится необходимость, и это основание будет варьироваться от одной науки к другой и даже, с прогрессом познания, в одной и той же науке в разное время. . Ибо по мере того, как знание становится более развитым и членораздельным, усматривается все больше и больше необходимых связей, и чисто категориальные истины, хотя и остаются основанием аподиктических суждений, уменьшаются в относительном числе.
Тем не менее, в такой довольно развитой науке, как геометрия, мы можем, я думаю, довольно полно дать соответствующее основание и установить в пределах изолированной науки различие между необходимым и чисто ассерторическим.
7. Я думаю, есть два основания, на которых можно искать необходимость в любой науке. Их можно (очень грубо) различить как основание, которое Кант ищет в «Пролегоменах»[5], и то, что он ищет в «Чистом разуме». Мы можем начать с существования нашей науки как факта и проанализировать рассуждения, используемые с целью открытия фундаментального постулата, от которого зависит ее логическая возможность; в этом случае постулат и все, что из него одного следует, будут априорными.
Или же мы можем принять существование предмета нашей науки за основание факта и вывести догматически любые принципы, какие только сможем, из сущностной природы этого предмета. В этом последнем случае, однако, не вся эмпирическая природа предмета, раскрытая последующими исследованиями нашей науки, составляет нашу основу; ибо если бы это было так, то вся наука, конечно, была бы априорной. Скорее это тот элемент в предмете, который делает возможной область опыта, с которой имеет дело рассматриваемая наука[2]. Важность этого различия станет более очевидной по мере нашего продвижения[3].
8. Эти два основания необходимости в конечном счете совпадают. Методы исследования в обоих случаях сильно различаются, но результаты не могут различаться. Ибо в первом случае путем анализа науки мы обнаруживаем постулат, на основании которого только и возможны ее рассуждения. Итак, если рассуждение в науке невозможно без какого-либо постулата, то этот постулат должен быть существенным для переживания предмета науки, и таким образом мы получаем второе основание. Тем не менее, оба метода полезны как дополняющие друг друга, и первый, как исходящий из реальной науки, является самым безопасным и легким методом исследования, хотя второй кажется более убедительным для изложения.
9. Таким образом, ход моих рассуждений будет следующим: в первой главе, в качестве подготовки к логическому анализу геометрии, я дам краткую историю возникновения и развития неевклидовых систем. Вторая глава подготовит почву для конструктивной теории геометрии путем критики некоторых предшествующих философских взглядов; в этой главе я постараюсь представить такие взгляды как отчасти верные, отчасти ложные, и таким образом путем предварительной полемики установить истинность тех частей моей собственной теории, которые можно найти у прежних авторов. р>
Однако большая часть этой теории не может быть введена таким образом, поскольку вся область проективной геометрии, насколько мне известно, до сих пор была неизвестна философам. Переходя в третьей главе от критики к построению, я коснусь сначала проективной геометрии. Я утверждаю, что это необходимо верно для любой формы внешнего, и, поскольку некоторая такая форма необходима для переживания, является совершенно априорным. Однако в метрической геометрии, которую я буду рассматривать далее, аксиомы делятся на два класса: (1) аксиомы, общие для евклидовых и неевклидовых пространств. Они будут найдены, с одной стороны, существенными для возможности измерения в любом континууме, а с другой стороны, необходимыми свойствами любой формы внешнего с более чем одним измерением. Следовательно, они будут объявлены априори. (2) Те аксиомы, которые отличают евклидовы пространства от неевклидовых. Они будут рассматриваться как полностью эмпирические.
Однако аксиома о том, что число измерений равно трем, хотя и эмпирическая, будет провозглашена, поскольку небольшие ошибки здесь невозможны, точно и безусловно верна для нашего действительного мира; тогда как две оставшиеся аксиомы, определяющие значение пространственной постоянной, будут считаться лишь приблизительно известными и достоверными только в пределах погрешностей наблюдения[4]. В четвертой главе, наконец, будет предпринята попытка доказать то, что предполагалось в главе III, что некоторая форма внешности необходима для переживания, и завершится демонстрацией логической невозможности, если знание такой формы должно быть освобождено от противоречий. , полностью абстрагируя это знание от любых ссылок на содержание формы.
Я надеюсь, что этим обсуждением я затронул все основные вопросы, касающиеся Основ геометрии.
СНИМКИ:
[1] См. Эрдманн, Аксиома геометрии, с. 111: "Für Kant sind Apriorität und ausschliessliche Subjectivität allerdings Wechselbegriffe".
[2] Я использую здесь «опыт» в самом широком смысле, в том смысле, в котором это слово используется Брэдли.
[3] Там, где рассматриваемая ветвь опыта существенна для всего опыта, результирующая априорность может рассматриваться как абсолютная; где это необходимо только какой-то специальной науке, относительно этой науки.
[4] Я не придал значения этим эмпирическим доказательствам, поскольку они, по-видимому, составлены всей совокупностью физической науки. Все в физической науке, от закона тяготения до строительства мостов, от спектроскопа до искусства навигации, было бы глубоко изменено любой существенной неточностью в гипотезе о том, что наше действительное пространство является евклидовым. Таким образом, наблюдаемая истина физической науки представляет собой неопровержимое эмпирическое свидетельство того, что эта гипотеза очень приблизительно верна, даже если она не является строго верной.
О серии книг HackerNoon: мы предлагаем вам самые важные технические, научные и содержательные общедоступные книги.
Эта книга является общественным достоянием. Бертран Рассел. (1897 г.). ОПИСАНИЕ ОСНОВ ГЕОМЕТРИИ. Урбана, Иллинойс: Проект Гутенберг. Получено ДАТА с https://www.gutenberg.org/cache/epub/52091/pg52091-images.html.
Эта электронная книга предназначена для использования кем угодно и где угодно бесплатно и почти без каких-либо ограничений. Вы можете копировать ее, отдавать или повторно использовать в соответствии с условиями лицензии Project Gutenberg, прилагаемой к этой электронной книге, или в Интернете по адресу www.gutenberg.org. , расположенный по адресу https://www.gutenberg.org/policy/license.html.< /эм>
Оригинал