Простые числа: нерушимые строительные блоки математики
21 декабря 2023 г.На заре времен, задолго до того, как мир раскрыл свои тайны, царство математики таило множество сокровищ и тайн. Древние, первобытные законы, казалось, управляли царством чисел с незапамятных времен, раскрывая его самые чарующие чудеса в танце простых чисел.
Вероятно, вы знакомы с понятием простых чисел — чисел, делящихся только на 1 и самих себя. Среди них мы встречаем такие выдающиеся числа, как 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 и 31. (Стоит отметить, что 1 не считается простым, и можно возразить, что 2 и 3 заслуживают уникальной классификации). Среди интригующих категорий простых чисел мы находим загадочные «простые числа-близнецы» — пары простых чисел, отличающиеся всего на 2, например 5–7, 11–13, 17–19 и т. д.
А пока давайте запомним эти понятия: простые числа и их различные категории, каждая из которых демонстрирует определенное сходство. Некоторые могут казаться беспорядочными, пока не будут раскрыты их основные закономерности. Но до тех пор...
Что такое простое число?
Идея простых чисел служит методом очерчивания числовой прямой, не оставляя пустот. Простые числа можно рассматривать как фундаментальные строительные блоки всех чисел. Возьмем, к примеру, число 2. Умножение 2 само на себя дает 4, затем 6, 8, 10, 12 и так далее. Следовательно, ни одно четное число не может быть простым, поскольку оно неизбежно получается в результате соединения 2 с другим числом. Теперь мы понимаем, что простые числа в своей наиболее фундаментальной форме принимают структуру нечетных чисел (2n+1). Я выбираю формат 2n+1, потому что, если бы мы выбрали 2n-1, мы бы столкнулись с -1 при рассмотрении 0. Это не обязательно нарушает какие-либо правила, как в случае с 2n-1, где n равно 1, мы получаем результат 1, что очаровательно, но неопределенность сохраняется.
Теперь мы показали, что сущность простых чисел в наиболее общей и универсальной форме равна 2n+1 (или -). Что касается простых чисел-близнецов, то если мы найдем середину между ними, мы обнаружим, что (2n+1)+(2n+3) равно 4n+4. (4n+4)/2 равно 2n+2. Эта средняя точка, как следует из многочисленных попыток поиска закономерностей, последовательно делится на 6 и 9. Дальнейшее деление на 2, давая n+1, показывает, что n+1 всегда делится на 3, 6 и 9. Пропорции между делители удивительно сбалансированы: разница между делителями 3 составляет примерно ±5% больше или меньше, чем у 6 и 9, и такая же для 6 и 9 по отношению к остальным соответственно.
Но что же мы находим, ища закономерности? Чего именно мы хотим достичь?
Модель нашего взаимодействия
Я не буду углубляться в этимологию слова «шаблон», но хочу объяснить, что оно для меня просто означает. Шаблоны — это самоповторяющиеся структуры или элементы, которые определяют целую структуру. Появление шаблонов может наблюдаться внешним наблюдателем, фокусирующим внимание на самом объекте или поведении — средство прогнозирования результатов.
Но почему мы стремимся предсказать простые числа? Что в них такого особенного? Почему они широко используются? Здесь мы вступаем в сферу криптографии и в то, как простые числа функционируют как невзламываемый шифр, предназначенный для предотвращения расшифровки. Их устойчивость основана на сложности разложения этих простых чисел на меньшие простые числа.
Это фундаментальный принцип в области криптографии. Безопасность некоторых криптографических алгоритмов, таких как RSA (Ривест-Шамир-Адлеман), основана на сложности разложения произведения двух больших простых чисел обратно на их исходные простые числа. Этот процесс известен как целочисленная факторизация.
Чем больше задействованные простые числа, тем сложнее становится факторизация их продукта с вычислительной точки зрения, что затрудняет расшифровку зашифрованных сообщений неавторизованными сторонами. Это свойство составляет основу безопасности многих криптографических систем, использующих в своих алгоритмах простые числа.
Конечно, способ найти и поиграть с каждым простым числом действительно был бы интересным направлением. Но что это могло значить по самой своей сути? Что, если мы выберем другое видение этой пьесы?
Изучение простых чисел как неразрывной формы нумерации:
Аналогия с квадратами. Представьте, что простые числа думают так же, как и квадраты. Например, возьмем число 7. Его можно представить в виде суммы 7 меньших квадратов. Интересно то, что эти маленькие квадраты нельзя разделить на меньшие. В отличие от других чисел, их невозможно разбить дальше.
Идея свертывания. Рассмотрим идею «свертывания» числа. В качестве примера возьмем число 8. Вы можете сложить его в квадраты 2 х 4 или даже 4 х 2, эффектно изменив его форму. Такое складывание и изменение формы возможны для определенных чисел.
Неизменяемая природа простых чисел. Когда дело касается простых чисел, такое свертывание или изменение формы невозможно. Форма простого числа всегда статична, и не существует способа изменить ее. Это уникальное свойство позволяет предположить, что простые числа можно использовать для создания новой системы счисления.
Потенциальные преимущества. Теперь вы можете задаться вопросом: какие преимущества мы можем получить от такой системы, основанной исключительно на простых числах? Одним из интересных приложений может быть общение. Например, если мы отправим сигналы в виде простых чисел из одной точки в другую, принимающая сторона сразу распознает, что сообщение основано на простом числе. Затем он мог бы разумно выбрать наиболее похожее простое число для интерпретации сообщения. Этот процесс может привести к более эффективному снижению шума и отфильтровыванию ненужной информации.
Итог: рассматривая простые числа как неизменяемые формы в системе счисления, мы открываем возможности для уникальных приложений. Аналогия с квадратами помогает проиллюстрировать особую природу простых чисел. Идея использования простых чисел в общении предполагает потенциальный путь создания системы, в которой нерушимые аспекты простых чисел способствуют эффективной передаче информации и фильтрации шума.
Мне нравится, как ясно ChatGPT объясняет некоторые идеи. Однако кто является тем, кто приходит к этим идеям? Ну вы. Тот, кто просто сидит, читает и каждый день узнает что-то новое. Не просто для обучения, а для того, чтобы использовать полученные знания для изучения чего-то совершенно нового.
Конец?
По мере того, как мы углубляемся в глубокую область простых чисел, возникает мучительный вопрос: можем ли мы разработать форму информации, которая использовала бы внутренние свойства простых чисел, эффективно смягчая воздействие шумовых помех? Такая революционная система могла бы потребовать больших простых чисел с более широкими интервалами, учитывая возросшие различия между ними. Примечательно, что даже для глобальной коммуникации простых чисел до 10 000 может оказаться достаточно, исходя из наших существующих знаний.
Однако по мере увеличения сложности становится очевидной необходимость в увеличении интервалов. Однако эта задача побуждает нас дать новое определение не только буквам, но и целым понятиям. Представьте себе сценарий, в котором, независимо от расстояния, мы обмениваемся идеями с помощью ряда тщательно разработанных формул — каждый получатель расшифровывает концепции в своей области знаний. Мир простых чисел открывает не только математические чудеса, но и интригующую перспективу изменения самой природы передачи информации.
Оригинал